¿Integral trigonométrica de csc^-4(x/2)dx?

Question

Answer 1

Respuesta preferida

csc^-4(x/2) = sen^4(x/2) = ( sen^2(x/2) )^2

Tener en cuenta que sen^2(x/2) = ( 1 - cos(x) ) / 2. Entonces:

csc^-4(x/2) = ( 1 - cos(x) )^2 / 4 = ( 1 - 2cos(x) + cos^2(x) ) / 4

Tener en cuenta que cos^2(x) = ( 1 + cos(2x) ) / 2. Entonces:

csc^-4(x/2) = ( 1 - 2cos(x) + ( 1 + cos(2x) ) / 2 ) / 4 =

= 3/8 - cos(x) / 2 + cos(2x) / 8

Por lo tanto, el resultado de la integral es el siguiente:

3/8 x - sen(x) / 2 + sen(2x) / 16 + cte.