Anónimo
Anónimo preguntado en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 4 semanas

¿Ayuda con cálculo vectorial, por favorrr lo necesito?

 Encuentra un vector tridimensional de longitud 9 tal que la suma

de sus componentes sea máxima.

2 respuestas

Calificación
  • hace 4 semanas

    El vector tridimensional que te dan de longitud =9 representaria la diagonal mayor del cubo de lados x, y, z iguales entre si.Para este cubo tendras:

    Diagonal Mayor = D = V3 lado = 1.732 x = 1.731 y = 1.732 z

    1.732 x = 9 ....Las componentes serian.................x=y=z =  9/1.732 = 5.196.

    Comprobacion: D = V{ 3 . ( 5.196)²} = 1.732 x 5.196 = 9.

  • Anónimo
    hace 4 semanas

    El problema es básicamente maximizar f(x,y,z) = x + y + z sujeto a √(x² + y² + z²) = 9.

    Nota que la ecuación de la restricción corresponde a una esfera de radio 9, por lo que -9 ≤ x ≤ 9, -9 ≤ y ≤ 9 y -9 ≤ z ≤ 9, y por el teorema del valor extremo debe existir un punto máximo y un punto mínimo de la función en esa región cerrada y delimitada.

    Para encontrar los puntos máximos y mínimos de la función se puede usar el método de multiplicadores de Lagrange.

    { ∇f(x,y,z) = λ ∇g(x,y,z)

    { g(x,y,z) = k

    Considerando que la función tenga puntos máximos y mínimos y ∇g(x,y,z) ≠ 0.

    En este caso:

    f(x,y,z) = x + y + z

    ∇f(x,y,z) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)

    ∇f(x,y,z) = (1, 1, 1)

    g(x,y,z) = √(x² + y² + z²)

    ∇g(x,y,z) = (∂g/∂x, ∂g/∂y, ∂g/∂z)

    ∇g(x,y,z) = (x/√(x² + y² + z²), y/√(x² + y² + z²), z/√(x² + y² + z²))

    ∇g(x,y,z) = (x/9, y/9, z/9)

    El sistema a resolver es:

    { (1, 1, 1) = λ (x/9, y/9, z/9)

    { √(x² + y² + z²) = 9

    Para la primera ecuación:

    (1, 1, 1) = λ (x/9,y/9,z/9)

    Esta ecuación tiene solución si λ ≠ 0 y si ∇g(x,y,z) = (x/9, y/9, z/9) ≠ 0.

    Resolviendo para cada variable:

    (λ/9) x = 1

    (λ/9) y = 1

    (λ/9) z = 1

    x = 9/λ

    y = 9/λ

    z = 9/λ

    x = y = z = 9/λ

    En la segunda ecuación se tiene que:

    √(x² + y² + z²) = 9

    x² + y² + z² = 81

    x² + x² + x² = 81

    3x² = 81

    x² = 27

    x = ±√27 = ±3√3

    Luego:

    x = y = z = √27 = 3√3

    f(x,y,z) = 3√3 + 3√3 + 3√3

    f(x,y,z) = 9√3

    O

    x = y = z = -√27 = -3√3

    f(x,y,z) = (-3√3) + (-3√3) + (-3√3)

    f(x,y,z) = -9√3

    La suma de las componentes del vector de longitud 9 es máxima cuando todas estas son iguales a √27 = 3√3.

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