¿La ecuacion de plano tangente que pasa por un punto y es perpendicular a un plano?

Calculela ecuación del plano tangente a la superficie 4𝑦2−2𝑥2−7𝑧=0que pase por el punto (−8;0;4)y sea perpendicular al plano 𝑥/4−𝑧/7=1.

No se muy bien como atacar este problema llegue a encontrar un punto (1,0,-21/4) en el plano 𝑥/4−𝑧/7=1 

RPTA: 

4𝑥±4√6𝑦+7𝑧+4=0

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  • Anónimo
    hace 1 mes

    Para la superficie 4y² - 2x² - 7z = 0 considera la función F(x, y, z) = 4y² - 2x² - 7z.

    Considera la ecuación del plano tangente π₁ como ax + by + cz + d = 0, donde n₁ = ⟨a, b, c⟩ es un vector normal al plano.

    1) Un vector normal a la superficie F(x,y,z) = 0 en el punto (xₒ, yₒ, zₒ) es dado por el gradiente de F, es decir, ∇F.

    ∇F = ⟨F_x, F_y, F_z⟩

    ∇F = ⟨-4x, 8y, -7⟩

    ∇F = ⟨-4xₒ, 8yₒ, -7⟩

    Luego, un vector normal al plano tangente puede ser n₁ = ⟨-4xₒ, 8yₒ, -7⟩.

    2) Un vector normal del plano π₂, de ecuación x/4 - z/7 = 1, es n₂ = ⟨1/4, 0, -1/7⟩.

    Como los planos π₁ y π₂ son perpendiculares, sus vectores normales también lo son.

    Dado que el producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero:

    n₁ • n₂ = 0

    (-4xₒ) * 1/4 + (8yₒ) * 0 + (-7) * (-1/7) = 0

    -xₒ + 1 = 0

    xₒ = 1

    El punto de tangencia es (1, yₒ, zₒ) y también se tiene que:

    n₁ = ⟨-4, 8yₒ, -7⟩

    -4x + (8yₒ)y - 7z + d = 0 ← ecuación del plano tangente a la superficie

    Y:

    4yₒ² - 2xₒ² - 7zₒ = 0

    4yₒ² - 2 - 7zₒ = 0

    4yₒ² - 7zₒ = 2 ← recuerde este resultado como ecuación 1

    3) Si el plano tangente π₁ pasa por el punto (-8, 0, 4):

    (-4) * (-8) + (8yₒ) * 0 + (-7) * 4 + d = 0

    32 - 28 + d = 0

    4 + d = 0

    d = -4

    -4x + (8yₒ)y - 7z - 4 = 0

    Dado que el punto de tangencia (1, yₒ, zₒ) también pertenece a este plano:

    (-4) * 1 + (8yₒ) * yₒ - 7 * zₒ - 4 = 0

    8yₒ² - 7zₒ - 8 = 0

    8yₒ² - 7zₒ = 8 ← recuerde este resultado como ecuación 2

    4) Después resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

    { 4yₒ² - 7zₒ = 2

    { 8yₒ² - 7zₒ = 8

    (8yₒ² - 7zₒ) - (4yₒ² - 7zₒ) = 8 - 2

    4yₒ² = 6

    yₒ² = 6/4

    yₒ = ±√(6)/2

    4 * (6/4) - 7zₒ = 2

    6 - 7zₒ = 2

    7zₒ = 6 - 2

    7zₒ = 4

    zₒ = 4/7

    El punto de tangencia del plano π₁ con la superficie es (1, -√(6)/2, 4/7) o (1, √(6)/2, 4/7).

    Entonces, la ecuación del plano es:

    a) Para el punto de tangencia (1, -√(6)/2, 4/7):

    -4x - 4√(6)y - 7z - 4 = 0

    O

    4x + 4√(6)y + 7z + 4 = 0 (esta es la forma de la ecuación del plano que está en la respuesta)

    b) Para el punto de tangencia (1, √(6)/2, 4/7):

    -4x + 4√(6)y - 7z - 4 = 0

    O

    4x - 4√(6)y + 7z + 4 = 0 (esta es la forma de la ecuación del plano que está en la respuesta)

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