Evelyn preguntado en Ciencia y matemáticasMatemáticas · hace 5 años

¿Calculo diferenciaal?

Clasificar y resolver la siguiente ecuación: dy/dx = (x^2)*(e^(-4x)) - 4y

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  • hace 5 años
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    Hola estimado/a,

    Más que cálculo diferencial, si estás interesado en resolver dicha ecuación entonces estamos en el universo de las ecuaciones diferenciales.

    Si tenemos la ecuación

    dy/dx = x² e^(-4x) - 4y

    Esta ecuación es una ecuación diferencial ordinaria, de primer orden y lineal, por lo que se puede escribir de la siguiente manera:

    y' + 4y = x² e^(-4x) (1)

    Ahora, debemos encontrar el factor integrante, el cual viene definido de la siguiente manera:

    Si se tiene una ecuación lineal de primer orden de la forma

    y' + P(x) y = f(x)

    El factor integrante se define como μ = e^(∫P(x) dx).

    En nuestra ecuación (1) se puede apreciar que

    P(x) = 4

    Por lo tanto, el factor integrante será

    μ = e^(∫4 dx) = e^(4x)

    Luego de encontrar el factor integrante, lo multiplicaremos a ambos lados de la ecuación (1):

    y' + 4y = x² e^(-4x) / *e^(4x)

    e^(4x) y' + 4e^(4x) y = x²

    Luego de multiplicar por el factor integrante, el lado izquierdo de la ecuación siempre se podrá escribir como la derivada del producto entre la variable "y" y el factor integrante. Es decir:

    d[y * e^(4x)] / dx = x²

    Ahora, integraremos a ambos lados con respecto a "x" para eliminar la derivada.

    d[y * e^(4x)] / dx = x² / ∫( )dx

    y e^(4x) = x³/3 + C (El +C solo se agrega al lado derecho)

    Finalmente, despejaremos la variable "y":

    y = x³ / [3e^(4x)] + C / [e^(4x)]

    Por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial lineal que planteas sería

    y(x) = x³ / [3e^(4x)] + C / [e^(4x)] / C ∈ ℝ

    El proceso que acabo de realizar es el procedimiento general para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden.

    Saludos.

    Matías del Río R.

    Estudiante Ingeniería Civil Industrial, Universidad Adolfo Ibáñez. Santiago, Chile.

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