Tamahara preguntado en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 5 años

¿Cómo resolver la siguiente integral?

∫x²dx/9x^6-3x³-1

Intenté por factorización y no me sale D:

Les agradecería mucho su ayuda.

4 respuestas

Calificación
  • hace 5 años

    Hola

    ∫(x^2) dx/(9 x^6 - 3 x^3 - 1 )

    Sustituimos

    u = x^3

    du = 3 x^2 dx

    x^2 dx = (1/3) du

    ∫(x^2) dx/(9 x^6 - 3 x^3 - 1 ) = (1/3) ∫ u du / (9 u^2 - 3 u - 1)

    ∫(x^2) dx/(9 x^6 - 3 x^3 - 1 ) = (1/27) ∫ u du / (u^2 - (1/3) u - (1/9))

    Completamos cuadrados con el divisor

    u^2 - (1/3) u - (1/9) = u^2 - 2 (1/6) u - (1/9)

    u^2 - (1/3) u - (1/9) = u^2 - 2 (1/6) u +(1/36) - (1/36) - (1/9)

    u^2 - (1/3) u - (1/9) = (u - (1/6))^2 - (1/36) - (4/36)

    u^2 - (1/3) u - (1/9) = (u - (1/6))^2 - (5/36)

    u^2 - (1/3) u - (1/9) = (u - (1/6))^2 - ((1/6)√5)^2

    Ahora definimos

    v = (u - (1/6)/((1/6)√5) = (6 u - 1)/√5

    u = (1/6) (√5 v + 1)

    du = (1/6) (√5) dv

    ∫(x^2) dx/(9 x^6 - 3 x^3 - 1 ) = (1/27) ∫ u du / (u^2 - (1/3) u - (1/9))

    ∫(x^2) dx/(9 x^6 - 3 x^3 - 1 ) = (1/27) ∫ u du / [(u - (1/6))^2 - ((1/6)√5)^2]

    ∫(x^2) dx/(9 x^6 - 3 x^3 - 1 ) =

    = (1/27) ∫ (1/6) (√5 v + 1) (1/6) (√5) dv / [((1/6)√5)^2 v^2 - ((1/6)√5)^2]

    = (1/27) (1/√5) ∫ (√5 v + 1) dv / (v^2 - 1)

    = (1/27) ∫ v dv/(v^2 - 1) + (1/27) (1/√5) ∫ dv/(v^2 - 1)

    v/(v^2 - 1) = (1/2) ( (1/(v-1)) + (1/(v+1))

    1/(v^2 - 1) = (1/2) ( (1/(v-1)) - (1/(v+1))

    ∫(x^2) dx/(9 x^6 - 3 x^3 - 1 ) =

    = (1/54) ln(v - 1) + (1/54) ln(v + 1) +

    + (1/54) (1/√5) ln(v -1) - (1/54) (1/√5) ln(v +1) + C

    Sustituimos

    v = (u - (1/6)/((1/6)√5) = (6 u - 1)/√5

    v - 1 = (6 u - 1 - √5)/√5

    v + 1 = (6 u - 1 + √5)/√5

    ∫(x^2) dx/(9 x^6 - 3 x^3 - 1 ) =

    = (1/54) ln(6 u - 1 - √5) + (1/54) ln(6 u - 1 + √5) +

    + (1/54) (1/√5) ln(6 u - 1 - √5) - (1/54) (1/√5) ln(6 u - 1 + √5) + C'

    u = x^3

    ∫(x^2) dx/(9 x^6 - 3 x^3 - 1 ) =

    = (1/54) ln(6 x^3 - 1 - √5) + (1/54) ln(6 x^3 - 1 + √5) +

    + (1/54) (1/√5) ln(6 x^3 - 1 - √5) - (1/54) (1/√5) ln(6 x^3 - 1 + √5) + C'

    Por favor, revisa los pasos.

    Saludos

  • Anónimo
    hace 5 años

    No voy a hacer tu tarea mientras vos te rascas

  • hace 5 años

    REVISA

    Puede que omitió √5 en el numerador. Por lo demás coincide con la respuesta del colaborador railrule.

    Este es el resultado es dado por la computadora.

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x^2...

  • hace 5 años

    No se entiende el planteamiento,si lo corriges con mucho gusto te ayudaría.

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