¿Ayuda solidos de revolucion!!!?

Question

Grafica la region acotada por el circulo x^2 + y^2 = r^2, el eje x y la recta de ecuacion

y = r - h, con 0 < h < r en el primer cuadrante, r y h cosntantes reales. Encuentra el

volumen del solido que se genera al hacer girar dicha region en torno al eje x.

Mañana tengo examen y no puedo hacer este ejercicio...agradeceria tu ayuda Gracias!

Answer 1

Respuesta preferida

Estimado amigo, en el siguiente link se mestra un esquema del problema planteado (por favor aumenta el zoom):

http://www.subirimagenes.net/pictures/703272ac4b8c...

como ves, el elemento diferencia seleccionado es paralelo al eje de giro. Esto indica que utilizaremos el Método de Casquillos Cilíndricos. A continuación la integral y los cálculos respectivos:

      ⌠r-h

V = 2π│y√(r² - y²)dy ⇒

      ⌡0

                   r-h

V = 2π(-(1/3)√(r² - y²)³ ⇒

                   0

V = 2π[-(1/3)√(r² - (r-h)²)³ + (1/3)√(r² - (0)²)³] ⇒

V = 2π[-(1/3)√(r² - (r² - 2rh + h²))³ + (1/3)√(r²)³] ⇒

V = 2π[-(1/3)√(r² - r² + 2rh - h²)³ + (1/3)√(r⁶)] ⇒

V = 2π[-(1/3)√(2rh - h²)³ + (r³/3)]     → RESPUESTA

Espero haber podido ayudarte. Saludos cordiales desde Venezuela!