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Anke preguntado en Ciencia y matemáticasMatemáticas · hace 1 década

¿Ec de la parabola qe tiene vertice V(1,2) por eje de simetria la recta 1+x=y y pasa por el punto P(3,7)?

alguien qe lo pueda resolver :)

2 respuestas

Calificación
  • hace 1 década
    Respuesta preferida

    El primer paso es encontrar la ecuación de la recta perpendicular al eje de simetría; el ejercicio nos dice que este es igual a y = x + 1.

    Por otra parte sabemos que en la ecuación de una recta de la forma y = m.x + h, el coeficiente "m" es la pendiente de dicha recta (siendo "h" la ordenada al origen). Por ende, la pendiente del eje de simetría es 1. Llamemos a esta pendiente "m1", de esta forma:

    m1 = 1

    Por otra parte, para que una recta sea perpendicular a otra, su pendiente debe guardar la siguiente relación:

    m2 = -1/m1

    donde m2 es la pendiente de la recta perpendicular que se busca. Sabiendo que m1 = 1, entonces:

    m2 = -1/1 = -1

    La ecuación de la recta perpendicular que se busca es entonces:

    y - yo = m (x - xo)

    donde el punto (xo, yo) son las coordenadas del vértice puesto que lo buscamos es la ecuación perpendicular al eje de simetría que pase por el vertice. Dado que el vértice esta en V(1, 2) y el valor de "m" de esta recta perpendicular es m2 = -1, se tiene que:

    y - 2 = -1 (x - 1)

    y - 2 = -x + 1

    y = -x + 1 + 2

    y = -x + 3

    El próximo paso es encontrar la distancia de las coordenadas (3, 7) a cada una de estas rectas (la del eje de simetría y la perpendicular a esta que hemos determinado en el paso anterior).

    Llamemos ahora M al punto (3, 7), llamemos QM a la distancia desde eje de simetría al punto M, y llamemos RM a la distancia desde la recta perpendicular al punto M. En una parábola se debe satisfacer la siguiente relación:

    QM^2 = 2.p RM ................. Expresión I

    Aplicando las fórmulas de la distancia de un punto a una recta podemos determinar que:

    .............. ( -x + y - 1 )

    QM = ------------------------- ............ Expresión II

    .............Raiz(a^2 + b^2)

    donde "a" y "b" son los coeficientes de x e y (en este caso, son los dos 1, siendo por ende a^2 + b^2 = 1 + 1 = 2).

    Para el punto M(3, 7) dicha distancia será de:

    .............. ( -3 + 7 - 1 ) ........... 3

    QM = ------------------------- = -----

    ..................Raiz(2) .............. √2

    Por otra parte la distancia RM está dada por:

    .............. ( x + y - 3 )

    RM = ------------------------- .............. Expresión III

    .............Raiz(a^2 + b^2)

    Para el punto M(3, 7) dicha distancia será de:

    .............. ( 3 + 7 - 3 ) ............ 7

    RM = ------------------------- = -----

    ..................Raiz(2) .............. √2

    Conocidos esos valores, podemos ahora aplicar la relación de la Expresión I:

    QM^2 = 2.p RM

    (3/√2)^2 = 2.p. 7/√2

    9/2 = 2.p. 7/√2

    De aquí que:

    2.p = (9.√2)/14

    Sabiendo ahora cual es el valor de 2p, podemos escribir la ecuacion general de parábola buscada en términos de x e y (y no de las coordenadas de un punto en particular), utilizando las Expresiones I, II y III:

    QM^2 = 2.p RM

    ... ( -x + y - 1)^2 .......... 9.√2 ..... (x + y - 3)

    ------------------------- = ---------- . --------------

    ........ √2^2 .......................14......... √2

    ... ( -x + y - 1)^2 .......... 9.√2 ..... (x + y - 3)

    ------------------------- = ---------- . --------------

    ...............2 ......................14............ √2

    Simplificando y haciendo pasaje de términos nos queda:

    7 ( -x + y - 1)^2 = 9.(x + y - 3)

    Desarrollando la expresión anterior nos queda:

    7x^2 + 7y^2 + 7 - 14xy - 14y + 14x = 9x + 9y -27

    Agrupando y eliminando términos semejantes nos queda:

    7x^2 - 14xy + 7y^2 + 5x - 23y + 34 = 0

    que es la ecuación de la parábola solicitada.

    En las siguientes imágenes se explica lo de arriba mejor formateado y con gráficas:

    http://i54.tinypic.com/2us94ao.png

    http://i55.tinypic.com/2cxt8pc.png

    Ajustá el zoom para que todo se vea nítido.

    Un cordial saludo y espero haberte ayudado.

  • hace 4 años

    l. a. ecuación de l. a. primera parábola es Y=AX^2+BX+C nos faltan A,B,C: Vértice en (-a million,2): -B/(2A)=-a million y como pasa por (-a million,2): 2=A(-a million)^2+ B(-a million) +C también pasa por (-3,5): 5=A(-5)^2+ B(-5) +C Tienes un sisitema de tes ecuaciones con tres incognitas, lo resuelves y ya está. El siguiente apartado lo haces igual, cambiando Y por X, ya que l. a. parabola es con eje de simetria horizontal

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