¿Problema de optimización, un fabricante de cajas de cartón quiere elaborar una caja sin tapa..................?

Un fabricante de cajas de carton quiere elaborar una caja sin tapa a partir de un recorte rectangular de carton de 10dm por 17dm cortando cuadrados en cada una de las esquinas y doblando los lados hacia arriba ¿cual es la longitud del lado de los cuadrados que se deben cortar de modo que la caja tenga volumen maximo?, desde ya gracias

4 respuestas

Calificación
  • Vergel
    Lv 7
    hace 1 década
    Respuesta preferida

    Debe cortar cuadrados de 4,2 dm y dejar esquinas de 0,2 dm

    Fuente(s): áreas y perímetros
  • hace 1 década

    Hola

    Supongamos un rectángulo de L x H

    y recortes cuadrados de lado x

    Sup_base = (L -2x) ( H - 2x) = LH - 2(L+H) x + 4x^2

    Altura = x

    Volumen = Sup_base * Altura = LH x - 2(L+H) x^2 + 4x^3

    dVol/dx = LH - 4(L+H) x + 12 x^2 = 0

    o

    x^2 - (1/3) (L+H) x + (1/12) LH = 0

    Con valores

    x^2 - (27/3) x + (170/12) = 0

    Discr = (-27/6)^2 - (170/12) = (729/36) - (170/12) = (729-510)/36 = 219/36

    x = (27/6) +/- (V219/6)

    x1 = (27 - V219)/6 = 2.03 dm

    x2 = (27 + V219)/6 = 6.97 dm

    La solución x2 nos da una superficie de base negativa

    porque

    10 - 2*6.97 = 10 - 13.94 = -3.94 < 0

    La solución válida es

    x1 = 2.03 dm

    Volumen máximo

    Sup_base = (17 - 2*2.03)(10 - 2*2.03) = 76.86 dm^2

    Vol = 76.86 dm^2 * 2.03 dm = 156 dm^3

    saludos

  • hace 1 década

    Primero hacemos el volumen en funcion de la altura de la caja

    como las esquinas se cortaran en cuadrados tenemos que el largo(L) de la caja sera de 17-2h,

    asi mismo el ancho(A) de la caja sera 10-2h

    como el volumen de la caja es L*A*h al sustituir tendremos V=(17-2h)*(10-2h)*h realizando estos productos tendremos que V=170h-20h²-34h²+4hᶟ

    Para hallar el maximo volumen en base a la altura derivamos esta funcion

    V'=12h²-108h+170 al hacer este valor igual a cero obtendremos el maximo de la funcion volumen en base a la altura 12h²-108h+170=0 al hallar los valores que satisfacen esta ecuacion nos da h=6.97 y h= 2.03 como es imposible cortar 6.97 en cada lado sobre todo cuando tenemos una magnitud de solo 10dm, entonces el valor de 2.03 es el adecuado

    asi tenemos que 2.03*5.94*12.94=156.03 dmᶟ

  • hace 1 década

    x= lado

    h= altura

    S= area superficial

    V= volumen

    V= x^2h

    S = x^2+4xh = 10*17 = 170

    x^2+4xh = 170

    h = (170-x^2)/4x

    V= x^2((170-x^2)/4x)

    V= 42.5x - (x^3)/4

    dv/dx = 42.5 - 0.75x^2

    dv/dx= 0

    x= 7.52dm

    Deben tener una longitud de 7.52 dm

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