Progrecion aritmetica?
No entiendo como hacer esto me quedo en una parte.....y no puedo seguir
Hallar los ceros de
x a la 3 potencia - 6x al cuadrado + 3x + 10
sabiendo que estan en progrecion aritmetica
x2-k+x2+x2+k= -b/a
3 x2= -b/a
x2 = 6/3
x2 = 2 ------------ x-2 es uno de sus ceros
y ahora como mas sigo?
1 respuesta
- LEO de BALAGUERLv 7hace 1 décadaRespuesta preferida
HOLA !!!!
x^3 - 6x^2 + 3x + 10
sabiendo que estan en progrecion aritmetica ??????????
Supongo que te refieres a las raices del polinomio indicado ...
Sea x1 ... x2 ... x3 <----- las 3 raices del polinomio
Siendo en una progresin aritmetica de diferencia "k" como tu lo indicas resulta
Los terminos seran :
x2 - k ........ x2 ...... x2 + k
x1 = x2 - k
=========
x3 = x2 + k
=========
Sabemos que en un polinomio de forma " ax^3 + bx^2 + cx + d "
la suma de las 3 raices es :
S = x1 + x2 + x3 = - b/a
==> x2 - k + x2 + x2 + k = - b/a
ax^3 + bx^2 + cx+ d
1.x^3 - 6x^2 + 3x + 10
En nuestro caso b = - 6 ..... a = 1
==> x2 - k + x2 + x2 + k = -(- 6/1)
3x2 = 6
x2 = 6/3
x2 = 2
=======
Resulta :
x1 = x2 - k = 2 - k
x3 = x2 + k = 2 + k
① Puedes seguir asi :
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Dividimos el polinomio (x^3 - 6x^2 + 3x + 10) entre (x - 2)
x^3 - 6x^2 + 3x + 10 .................... |_ x - 2___
-x^3+2x^2 ............... ...................... x^2
--------------
../ ..- 4x^2 + 3x ................ ................. - 4x
..... + 4x^2 - 8x
...... ----------------
.......... / .. - 5x + 10 ............... ................. - 5
............... +5x - 10
.............. ----------------
.................. / .... /
Resulta :
x^3 - 6x^2 + 3x + 10 = (x - 2).(x^2 - 4x - 5)
nos queda hallar los zeros para el polinomio de segundo grado x^2 - 4x - 5
x^2 - 4x - 5 = 0 <------- Ecuacion segundo grado [a = 1 .... b = - 4 ... c = - 5]
x₁; ₂= [ - b ± √(b² - 4ac) ] / 2a
.......... = [ 4 ± √(16 + 20) ] / 2
.......... = [ 4 ± 6 ] / 2
.......... = 2 ± 3
De aqui nos damos cuenta que k = 3 porque tenemos x3;1 = 2 ± k
osea
las 3 raices (zeros) son :
x1 = 2 - 3 = - 1 ✔
x2 = 2 ✔
x3 = 2 + 3 = 5 ✔
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---> ② Tambien podias seguir asi :
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Se tiene x2 = 2
==> x1 = 2 - k
==> x3 = 2 + k
Sabemos que el polinomio se puede factorizar asi :
x^3 - 6x^2 + 3x + 10 = 1.(x - x1).(x - x2).(x - x3)
.............. ............. = (x - 2 + k).( x - 2).(x - 2 - k)
.............. ............. = (x - 2).[ (x - 2)^2 - k^2 ]
............. .............. = (x - 2)^3 - (x - 2)k^2
............. .............. = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 - xk^2 + 2k^2
............. ............. = x^3 - 6x^2 + x.(12-k^2) - 8 + 2k^2
x^3 - 6x^2 + 3x + 10 = x^3 - 6x^2 + (12 - k^2)x + 2k^2 - 8
==> 12 - k^2 = 3 ===> k^2 = 9
o
==> 2k^2 - 8 = 10 ==> k^2 = 18/2 ===> k^2 = 9
De los 2 resulta k^2 = 9
k = ± 3
==> x1 = 2 + (± 3) = 2 ± 3
x1 = 5 ..... x1 = - 1
==> x3 = 2 - (± 3) = 2 ∓ 3
x3 = - 1 ..... x3 = 5
O sea que la progresion puede ser
Creciente : k = + 3
x1 = - 1 ...... x2 = 2 ..... x3 = 5
o
Decreciente k = - 3
x1 = 5 ......x2 = 2 ..... x3 = - 1
Como ves los 0-s son los mismos da igual del signo del k ---> { - 1 , 2, 5 }
x^3 - 6x^2 + 3x + 10 = (x + 1).(x - 2).(x - 5)
Espero que lo vas ha entender .....
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SUERTE !!!!