Progrecion aritmetica?

Question

No entiendo como hacer esto me quedo en una parte.....y no puedo seguir

Hallar los ceros de

x a la 3 potencia - 6x al cuadrado + 3x + 10

sabiendo que estan en progrecion aritmetica

Actualización:

x2-k+x2+x2+k= -b/a

3 x2= -b/a

x2 = 6/3

x2 = 2 ------------ x-2 es uno de sus ceros

y ahora como mas sigo?

Answer 1

Respuesta preferida

HOLA !!!!

x^3 - 6x^2 + 3x + 10

sabiendo que estan en progrecion aritmetica ??????????

Supongo que te refieres a las raices del polinomio indicado ...

Sea x1 ... x2 ... x3 <----- las 3 raices del polinomio

Siendo en una progresin aritmetica de diferencia "k" como tu lo indicas resulta

Los terminos seran :

x2 - k ........ x2 ...... x2 + k

x1 = x2 - k

=========

x3 = x2 + k

=========

Sabemos que en un polinomio de forma " ax^3 + bx^2 + cx + d "

la suma de las 3 raices es :

S = x1 + x2 + x3 = - b/a

==> x2 - k + x2 + x2 + k = - b/a

ax^3 + bx^2 + cx+ d

1.x^3 - 6x^2 + 3x + 10

En nuestro caso b = - 6 ..... a = 1

==> x2 - k + x2 + x2 + k = -(- 6/1)

3x2 = 6

x2 = 6/3

x2 = 2

=======

Resulta :

x1 = x2 - k = 2 - k

x3 = x2 + k = 2 + k

① Puedes seguir asi :

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Dividimos el polinomio (x^3 - 6x^2 + 3x + 10) entre (x - 2)

x^3 - 6x^2 + 3x + 10 .................... |_ x - 2___

-x^3+2x^2 ............... ...................... x^2

--------------

../ ..- 4x^2 + 3x ................ ................. - 4x

..... + 4x^2 - 8x

...... ----------------

.......... / .. - 5x + 10 ............... ................. - 5

............... +5x - 10

.............. ----------------

.................. / .... /

Resulta :

x^3 - 6x^2 + 3x + 10 = (x - 2).(x^2 - 4x - 5)

nos queda hallar los zeros para el polinomio de segundo grado x^2 - 4x - 5

x^2 - 4x - 5 = 0 <------- Ecuacion segundo grado [a = 1 .... b = - 4 ... c = - 5]

x₁; ₂= [ - b ± √(b² - 4ac) ] / 2a

.......... = [ 4 ± √(16 + 20) ] / 2

.......... = [ 4 ± 6 ] / 2

.......... = 2 ± 3

De aqui nos damos cuenta que k = 3 porque tenemos x3;1 = 2 ± k

osea

las 3 raices (zeros) son :

x1 = 2 - 3 = - 1 ✔

x2 = 2 ✔

x3 = 2 + 3 = 5 ✔

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---> ② Tambien podias seguir asi :

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Se tiene x2 = 2

==> x1 = 2 - k

==> x3 = 2 + k

Sabemos que el polinomio se puede factorizar asi :

x^3 - 6x^2 + 3x + 10 = 1.(x - x1).(x - x2).(x - x3)

.............. ............. = (x - 2 + k).( x - 2).(x - 2 - k)

.............. ............. = (x - 2).[ (x - 2)^2 - k^2 ]

............. .............. = (x - 2)^3 - (x - 2)k^2

............. .............. = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 - xk^2 + 2k^2

............. ............. = x^3 - 6x^2 + x.(12-k^2) - 8 + 2k^2

x^3 - 6x^2 + 3x + 10 = x^3 - 6x^2 + (12 - k^2)x + 2k^2 - 8

==> 12 - k^2 = 3 ===> k^2 = 9

o

==> 2k^2 - 8 = 10 ==> k^2 = 18/2 ===> k^2 = 9

De los 2 resulta k^2 = 9

k = ± 3

==> x1 = 2 + (± 3) = 2 ± 3

x1 = 5 ..... x1 = - 1

==> x3 = 2 - (± 3) = 2 ∓ 3

x3 = - 1 ..... x3 = 5

O sea que la progresion puede ser

Creciente : k = + 3

x1 = - 1 ...... x2 = 2 ..... x3 = 5

o

Decreciente k = - 3

x1 = 5 ......x2 = 2 ..... x3 = - 1

Como ves los 0-s son los mismos da igual del signo del k ---> { - 1 , 2, 5 }

x^3 - 6x^2 + 3x + 10 = (x + 1).(x - 2).(x - 5)

Espero que lo vas ha entender .....

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SUERTE !!!!