Anónimo
Anónimo preguntado en Ciencia y matemáticasMatemáticas · hace 1 década

Los reto a probar que x=3 es la única solución natural:?

2^x+3^x=35

Pero no vale hacer análisis de función ni tanteos.

Actualización:

Muy buena resolución Rodrigo, esta pregunta ya la hiciste varias veces y me parece interesante, y por eso la vuelvo a formular

En un rato te cuento, como la pensé.

Por supuesto que en general no es posible resolver estas ecuaciones, pero en este caso particular, es posible.

Actualización 2:

2^x+3^x=8+27

2^x-8=27-3^x

2^x-2^3=3^3-3^x

si x>=3

2^3(2^(x-3)-1)=-3^3(3^(x-3)-1)

sea z=x-3

entonces:

2^3(2^z-1)=-3^3(3^z-1)

si z=0 , x=3 es la solución

si z>0

2^z-1 es impar y 3^z-1 es par

Sólo puede pasar

2^z-1=3^3 , y no hay solución.

y x=0 , x=1 , x=2 no son soluciones.

Luego x=3 es la única.

1 respuesta

Calificación
  • hace 1 década
    Respuesta preferida

    Hola Jaime (te agregé como mi amigo!!). La ecuación es una ecuación trascedente:

    http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trascend...

    http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_trascende...

    O mejor dicho, en otras palabras, que es una ecuación imposible de resolver algebraicamente. Ya que si aplico LOG a ambos lados de la ecuación:

    Log(2^x+3^x)=LOG35

    No existe propiedad del Logaritmo de una suma.

    Lo que se hace para resolverlo es tomar la intersección de la gráfica de las dos funciones: F(x)=2^x junto con F(x)= 35 - 3^x. Hay muchos métodos de aproximación. Pero para eso busca en Internet.

    Pero quieres es que pruebe que es un número natural. Yo lo haría así.

    Si el valor de x que satisface la ecuación es un número entero, podemos utilizar técnicas de teoría de números para resolver la ecuación (como el pequeño teorema d Fermat), y en este caso, ésto es así:

    Supongamos que el valor que de x es natural.

    2^x + 3^x +1 =36

    2^x + 1=36 - 3^x

    36 - 3^x es divisible por 3 ya que X es natural

    2^x + 1≡0 (mod 3)

    2^X ≡-1 (Mod 3)

    Dado que -1 ≡ 2 (mod 3) resulta:

    2^x≡2 (mod 3)

    y puesto que 2 es coprimo con 3, se puede utilizar la ley de cancelación, si no sabes que es, te dejo un link http://es.wikipedia.org/wiki/Demostraciones_del_pe...

    2^(x-1)≡1 (MOD 3)

    Según, el pequeño teorema de Fermat dice que: a^(p-1) ≡ 1 (mod p) para todo A coprimo con P. Como verás, el 3 es primo y coprimo con 2, se obtiene necesariamente que x = 3.

    Por último se pone en la ecuación para verificar si realmente es solución.

    2^3+3^3=35

    Se ve que es cierto!!!

    Este problema no es fácil. Me gustaría saber cualés son tu métodos para sacar X=3.

    PD: Así es, es mismo problema la formulé varias veces hasta que encontré la respuesta: ecuaciones trascedentes. Fue hace como 1 año y lo sorprendente es que algunos aplicaban mal propiedades de potencias pero llegaban a la respuesta. Me ayudó mucho en comprender mejor las ecuaciones y el pequeño toerema de Fermat.

    Saludos!!!!

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