:) preguntado en Ciencia y matemáticasMatemáticas · hace 1 década

FUNCIONES DERIVADAS PLEASE!! POR FIS,, ME AYUDAN?

1) HALLAR A Y B DE MODO TAL QUE LA FUNCION F(X)= x^3 + ax²+bx +c tenga a)un maximo relativo en x=-1 y un minimo relativo en x=3 b) un minimo relativo en x=4 y un punto de inflexion en x=1

RTA: A) a=-1 b=-9

B) a=-3 b=-24

2) UN RECTANGULO CUYA BASE ESTA EN EL EJE DE LAS "X" TIENE SUS DOS VERTICES SUPERIORES EN LA PARABOLA Y= 12-X² , ¿CUAL ES LA MAYOR AREA QUE PUEDE TENER EL RECTANGULO?

rta= 32 u²

3) si una lata cerrada con un volumen de 16 pi plg^3 va a tener la forma de un cilindro circular recto, determinar la altura y el radio de dicha lata si se va a utilizar la minima cantidad de material en su manufactura.. rta: r=2plg h= 4plg

NECESITO EL DESARROLLO CLARO ... Y JUSTIFICADO

SE LOS VOY A AGRADECER MUCHO..

DOY ESTRELLAS Y MEJOR RESPUESTAS COMO SIEMPRE!

1 respuesta

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  • hace 1 década
    Respuesta preferida

    f(x) = x³ + ax² + bx + c

    f '(x) = 3x² + 2ax + b

    f "(x) = 6x + 2a

    Para que en x = -1 exista un máximo o un mínimo relativo se debe cumplir que la primera derivada en ese punto sea igual a cero:

    f '(-1) = 3(-1)² + 2a(-1) + b

    f '(-1) = 3(1) - 2a + b

    f '(-1) = 3 - 2a + b

    3 - 2a + b = 0

    3 + b = 2a

    (3 + b) / 2 = a ...... (i)

    Y también se debe cumplir que la segunda derivada en ese punto sea negativa (para el caso de que el punto sea un máximo relativo):

    f "(-1) = 6(-1) + 2a

    f "(-1) = -6 + 2a

    2a - 6 < 0

    2a < 6

    a < 6 / 2

    a < 3 ..... (ii)

    Hacemos lo mismo para x = 3:

    f '(3) = 3(3)² + 2a(3) + b

    f '(3) = 3(9) + 6a + b

    f '(3) = 27 + 6a + b

    27 + 6a + b = 0

    27 + b = -6a

    (27 + b) / (-6) = a ...... (iii)

    Y también se debe cumplir que la segunda derivada en ese punto sea positiva (para el caso de que el punto sea un mínimo relativo):

    f "(3) = 6(3) + 2a

    f "(3) = 18 + 2a

    2a + 18 > 0

    2a > -18

    a > -18 / 2

    a > -9 ..... (iv)

    Observemos que (i) y (iii) forman un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, a y b:

    (3 + b) / 2 = a ...... (i)

    (27 + b) / (-6) = a ...... (iii)

    Como el lado derecho del igual es el mismo, podemos igualar sus lados izquierdos:

    (3 + b) / 2 = (27 + b) / (-6)

    3 + b = [ 2(27 + b) ] / (-6)

    3 + b = -⅓·(27 + b)

    -3(3 + b) = 27 + b

    -9 - 3b = 27 + b

    -9 - 27 = b + 3b

    -36 = 4b

    -36/4 = b

    -9 = b

    Conocido el valor de b, lo reemplazamos en (i) o en (iii) para hallar el valor de a:

    (3 + b) / 2 = a ...... (i)

    [ 3 + (-9) ] / 2 = a

    (3 - 9) / 2 = a

    -6 / 2 = a

    -3 = a

    Entonces, para que x = -1 sea un máximo relativo de f(x) y a la vez x = 3 sea un mínimo relativo de f(x) los valores de a y b deben ser:

    a = -3

    b = -9

    quedando f(x) definida así:

    f(x) = x³ - 3x² - 9x + c

    El valor de a en tu respuesta está errado. La función

    f(x) = x³ - x² - 9x + c

    NO TIENE un máximo en x = -1 NI TAMPOCO TIENE un mínimo en x = 3. Su máximo relativo está en x = -1,4305 y su mínimo en x = 2,0972.

    Adicionalmente, "a" debe cumplir con las condiciones establecidas por (ii) y por (iv): para el máximo relativo, a < 3 (lo cual se cumple); y para el mínimo relativo se tiene que a > -9, lo cual también se cumple.

    ====

    Para que en x = 4 exista un máximo o un mínimo relativo se debe cumplir que la primera derivada en ese punto sea igual a cero:

    f '(4) = 3(4)² + 2a(4) + b

    f '(4) = 3(16) + 8a + b

    f '(4) = 48 + 8a + b

    48 + 8a + b = 0

    48 + b = -8a

    (48 + b) / (-8) = a ...... (i)

    Y también se debe cumplir que la segunda derivada en ese punto sea positiva (para el caso de que el punto sea un mínimo relativo):

    f "(4) = 6(4) + 2a

    f "(4) = 24 + 2a

    2a + 24 > 0

    2a > -24

    a > -24 / 2

    a > -12 ..... (ii)

    Para que x = 1 sea un punto de inflexión requerimos que la segunda derivada de f(x) sea cero en ese punto:

    f "(1) = 6(1) + 2a

    f "(1) = 6 + 2a

    2a + 6 = 0

    2a = -6

    a = -6 / 2

    a = -3 ..... (iii)

    Vemos que "a" cumple la condición (ii): a > -12.

    Dado que ya conocemos el valor de "a", podemos reemplazarlo en (i) para encontrar el de b:

    (48 + b) / (-8) = a ...... (i)

    (48 + b) / (-8) = -3

    48 + b = -3(-8)

    48 + b = 24

    b = 24 - 48

    b = -24

    Entonces, para que x = 4 sea un mínimo relativo de f(x) y a la vez x = 1 sea un punto de inflexión de f(x) los valores de a y b deben ser:

    a = -3

    b = -24

    quedando f(x) definida así:

    f(x) = x³ - 3x² - 24x + c

    Esta vez tu respuesta está correcta.

    =============

    A = b·a

    pero "a", la altura del rectángulo viene dada por f(x), para cualquier valor "b" que tomemos.

    Supongamos que tenemos un punto "x". Su "altura" será f(x). También, el punto "-x" tendrá la misma altura f(x).

    Así, la base "b" del rectángulo será la recta comprendida entre "-x" y "x", lo cual indica que mide "| -x | + | x | = x + x = 2x".

    Entonces el área del rectángulo de base 2x y altura f(x) será

    A = 2x·f(x)

    A = 2x·(12 - x²)

    A = 24x - 2x³

    A' = 24 - 6x²

    Para que haya un máximo o un mínimo se requiere que A' = 0, por tanto

    24 - 6x² = 0

    24 = 6x²

    24 / 6 = x²

    4 = x²

    √4 = √(x²)

    ±2 = x

    Lo cual significa que tenemos 2 valores de x que pueden ser un máximo o un mínimo de la función "área": x = 2, y x = -2.

    Pero como hemos mencionado antes, la base del rectángulo va de "-x" hasta "x", lo cual significa que en este caso tenemos un rectángulo cuya base va de x = -2 hasta x = 2, midiendo 4 unidades.

    La altura del rectángulo cuyos vértices estan en x = -2 y en x = 2 es

    f(2) = 12 - 2²

    f(2) = 12 - 4

    f(2) = 8

    Puedes comprobar que f(-2) = f(2).

    Entonces, finalmente, el área máxima para un rectángulo con las características indicadas es

    A = b·a

    A = (4 unid)(8 unid)

    A = 32 unid²

    ==========

    V = 16·π pulg³ .... (i)

    Sabemos que el volumen de un cilindro circular recto es

    V = π·r²·h ........... (ii)

    donde "r" es el radio de la lata (o mejor, el radio del círculo que forma una de las bases del cilindro) y "h" es la altura de la lata.

    El exterior de la lata cilíndrica está conformado por 2 tapas circulares (recuerda que la lata es cerrada) y un rectángulo (que forma la pared lateral). La altura de este rectángulo es "h", y la base es la longitud de circunferencia de una de las tapas circulares. Así, la superficie S del cilindro de radio "r" y altura "h" viene dada por

    S = 2 veces el área del círculo de radio "r" + el área del rectángulo de base "2·π·r" y altura "h"

    S = 2·(π·r²) + (2·π·r)·h

    S = 2·π·r² + 2·π·r·h

    sacando 2·π·r como factor común tenemos

    S = (2·π·r)·(r + h) ...... (iii)

    Esta es la "función" que debemos minimizar.

    De (i) y (ii) sabemos que

    r²·h = 16 pulg³

    Por tanto podemos despejar "h":

    h = 16 pulg³ / r² ...... (iv)

    Y así podemos también expresar (iii) en términos de una sola de las dos variables desconocidas:

    S = (2·π·r)·(r + h)

    S = (2·π·r)·[ r + (16 pulg³ / r²) ]

    S = (2·π·r²) + [ (2·π·r·16 pulg³) / r² ]

    S = 2·π·r² + [ (32·π pulg³) / r ]

    Así, derivando con respecto a "r",

    S' = 4·π·r + [ (-1)·(32·π pulg³) / r² ]

    S' = 4·π·r - [ (32·π pulg³) / r² ]

    Sacando mínimo común denominador entre 1 y r² queda

    S' = (4·π·r³ - 32·π pulg³) / r²

    S' = [ (4·π)·(r³ - 8 pulg³) ] / r²

    Ahora, para encontrar un mínimo debemos igualar S' a cero:

    [ (4·π)·(r³ - 8 pulg³) ] / r² = 0

    Obviamente el radio "r" no puede ser 0 porque crearía una indeterminación (y también por las condiciones del problema: la superficie de la lata no puede ser cero si queremos almacenar en ella un volumen de 16 pulg³). Obviando esto, multiplicamos a ambos lados por "r²":

    [ (4·π)·(r³ - 8 pulg³) ] = 0·r²

    [ (4·π)·(r³ - 8 pulg³) ] = 0

    Ahora dividimos a ambos lados por 4·π:

    r³ - 8 pulg³ = 0 / (4·π)

    r³ - 8 pulg³ = 0

    r³ = 8 pulg³

    ∛(r³) = ∛(8 pulg³)

    r = 2 pulg

    Hemos encontrado el radio de la lata. Ahora, ayudados por (iv) hallaremos la altura:

    h = 16 pulg³ / r²

    h = 16 pulg³ / (2 pulg)²

    h = 16 pulg³ / 4 pulg²

    h = 4 pulg

    Entonces la altura de la lata deberá ser de 4 pulg y su radio de 2 pulg para que la lata cerrada contenga 16π pulg³.

    ======

    Hasta una próxima.

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