¿Está bien demostrada la no existencia de este limite?

lim (xy+yz+xz)/(x^2+y^2+z^2)

(x,y,z)->(0,0,0)

Lo que hice fue aproximarme al punto por distintos caminos, primero con y=x, z=x, es decir...

lim (xy+yz+xz)/(x^2+y^2+z^2)

(x,x,x)->(0,0,0)

Me da como limite 1, pero cuando uso otro camino me da distinto. El camino que tome fue x=x^2, y=x, z=0... es decir,

lim (xy+yz+xz)/(x^2+y^2+z^2)

(x^2,x,0)->(0,0,0)

Me da limite infinito, esto demuestra que no existe limite o lo estoy planteando mal. Como debo demostrar la no existencia del limite

1 respuesta

Calificación
  • MC
    Lv 6
    hace 1 década
    Respuesta preferida

    Considerando los parámetros de tu límite podemos decir que:

    x + y + z = 0; elevando esta expresión al cuadrado:

    (x + y + z)^2 = 0^2

    x^2+y^2+z^2 + 2(xy + yz + xz) = 0

    entonces:

    x^2+y^2+z^2 = -2(xy + yz + xz)...(i)

    sustituyendo la expresión i en tu límite inicial tenemos:

    lim (xy+yz+xz)/(x^2+y^2+z^2) =

    (x,x,x)->(0,0,0)

    lim (xy+yz+xz)/ -2(xy + yz + xz) =

    (x,x,x)->(0,0,0)

    cancelando términos semejantes

    lim (-1/2)

    (x,x,x)->(0,0,0)

    entonces el límite nos queda:

    -1/2 = -0.5

    éxitos!!!

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