¿Como calculo esta integral?

Segun el derive 6, el resultado de la siguiente integral da 1/3 pero no logro llegar a ese resultado.

Seria la integral de x por la raiz de (1-x^2). los extremos de derivacion son 1 y 0, espero puedan ayudarme gracias!

1 respuesta

Calificación
  • hace 1 década
    Respuesta preferida

    ∫ x√(1-x^2) dx

    esa integral se hace por cambio de variable:

    u= 1-x^2

    x=√(1-u) <---- se obtiene despejando u

    dx= -1/[2√(1-u)]du

    Ahora sustituimos en la integral y nos queda:

    -∫ √(1-u)*√u*1/[2√(1-u)]*du

    y como vemos √(1-u) se elimina en la integral (una multiplica arriba y la otra divida abajo). Sacando las constantes de la integral nos queda:

    -1/2∫ √u*du <---- Esta integral se resuelve con la fórmula de u^n

    = -1/2(u^(3/2))/3/2

    =-1/3 u^(3/2) + c <---- ahora hay que regresar la integral en términos de x

    =-1/3 (1-x^2)^(3/2)

    muy bien ahora tenemos que evaluar la integral

    =-1/3 (1-1^2)^(3/2) - [-1/3 (1-0^2)^(3/2) ]

    =-1/3(1-1)^(3/2) -[-1/3 (1-0)^(3/2) ]

    = -1/3 (0) ^(3/2) - [-1/3 (1)^(3/2) ] <------El primer termino se elimina por que es una multiplicacion por Cero, como se ve acontinuación.

    = -1/3(0) - [-1/3 (1)]

    =0-(-1/3) <--- y como menos por menos da mas

    = 1/3 <---Listo¡¡

    Saludos¡

¿Aún tienes preguntas? Pregunta ahora para obtener respuestas.