Anónimo
Anónimo preguntado en Ciencia y matemáticasMatemáticas · hace 1 década

problema usando derivadas?

si una lata cerrada con un volumen de 16*(PI) plg^3 va a tener la forma de un cilindro recto, determinar la altura y el radio de dicha lata si se va a utilizar la mínima cantidad de material en su manufactura.

2 respuestas

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  • Anónimo
    hace 1 década
    Respuesta preferida

    Siendo r el radio de su base y h su altura, el volumen de un cilindro es:

    V = π r² h

    como en el problema nos dicen que el volumen es de 16 π

    π r² h = 16 π

    h = 16/r²

    Y el área total del cilindro (que es lo que se trata de minimizar) vale:

    A = 2 π r² + 2 π r h

    remplazando el valor de h:

    A = 2 π r² + 2 π r 16/r² = 2 π r² + 32 π/r

    Derivando e igualando a cero:

    A' = 4 π r – 32 π/r² = 0

    4 π r = 32 π/r²

    r³ = 32 π/(4 π) = 8

    r = 2 plg

    Para saber si el valor encontrado corresponde a un máximo o a un mínimo, hallamos la derivada segunda del área:

    A'' = 4 π + 64 π/r³

    Sustituimos el valor hallado r = 2

    A'' = 4 π + 64 π/2³ > 0

    Como A''(2) > 0 significa que el valor hallado (r = 2) corresponde a un MÍNIMO.

    Por tanto:

    ► r = 2 plg

    ► h = 16/r² = 4 plg

    Un saludo.

  • hace 1 década

    La ecuación de v=Pi*h*r cuadrada =16 es una restricción,

    La ecuación de área de la lata es A = 2*Pi*h*r

    la cual vas a derivar, como 2*Pi es una constante su derivada es cero, quedado la derivada: 1/hr = 0?

    La solución es una moneda, la altura la mínima posible.

    Si h= 0.0001 y r=50929.5818, se cumple el objetivo,

    Si se pudiera reducir aun más la h, se consumiría menos material

    Fuente(s): Cálculo diferencial
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