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Cómo se calcula el lado de una figura??

Es un cuadrilatero, su base mide 16, la superficie es igual a 300 m2, los ángulos internos de la base miden 83 y 93 grados, respectivamente a izquierda y derecha. El ángulo superior izquierdo interno es de 90 grados. Quería saber la medida del lado izquierdo para que tenga la superficie deseada.

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  • hace 1 década
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    Como primer paso dibujamos el cuadrilátero. Sea:

    A: La base del cuadrilátero.

    B: Su lado izquierdo que forma un ángulo de 83º con la base, y cuya longitud queremos calcular.

    C: Su lado derecho que forma un ángulo de 93º con la base.

    D: El lado superior que forma un ángulo de 90º con el lado izquierdo.

    Dado que no es posible dibujar acá, empezaré por describir algunas líneas auxiliares que es necesario trazar para resolver el problema:

    1) Desde el ángulo que forman B y D, trazamos un segmento perpendicular al lado A, y lo llamamos F. O sea que F es vertical y termina en A.

    2) El punto de encuentro entre F y A divide a este último en 2 segmentos. Llamamos E al segmento de la izquierda, que va desde ese punto de encuentro hasta el ángulo que forman los lados A y B. Queda así delimitado un triángulo rectángulo de lados B,E,F; que es parte del cuadrilátero.

    3) Prolongamos el lado A hacia la derecha, mas allá del lado C. Desde el ángulo que forman D y C, trazamos un segmento perpendicular (vertical) a esa prolongación del lado A. Queda así formado un triángulo rectángulo auxiliar, que tiene por hipotenusa al lado C del cuadrilátero. Llamamos G al cateto perpendicular a la prolongación del lado A. Llamamos H al cateto horizontal que es la prolongación de A. Queda así formado un triángulo rectángulo de lados C,G,H; exterior al cuadrilátero.

    4) Desde el vértice que forman B y D, trazamos una paralela al lado A. Por otra parte prolongamos el segmento G hacia arriba. Estas 2 líneas auxiliares se cortan formando un ángulo de 90 grados. Queda así determinado otro triángulo rectángulo exterior al cuadrilátero, cuya hipotenusa es el lado D. Llamamos I al cateto vertical que es prolongación de G, y J al cateto horizontal que es paralelo al lado A.

    Si miramos la figura que se ha formado con los 3 triángulos rectángulos auxiliares que hemos dibujado, veremos que podemos expresar la superficie del cuadrlátero como sigue:

    Sup. Cuadrilat = Sup Triang. BEF + Sup. Trapezoide ACDF - Sup. Triang. CGH

    S = (E*F)/2 + (F+G)*(A+H-E)/2 - (G*H)/2 = 300 m2

    Desde ahora voy a prescindir de las unidades de longitud y superficie para no complicar el desarrollo.

    Multiplicando la expresión anterior por 2 queda:

    (E*F) + (F+G)*(A+H-E) - (G*H) = 600

    Haciendo el producto (F+G)*(A+H-E) queda:

    E*F + A*F + F*H - E*F + A*G + G*H - E*G - G*H = 600

    Simplificando, llegamos a la fórmula que nos permitirá resolver el problema:

    1) A*F + F*H + A*G - E*G = 600

    Observemos que el enunciado nos da el valor de A. Expresaremos: E, F, G y H, en función de B que es nuestra incógnita.

    Conocemos el valor de los ángulos:

    1) Según el enunciado el ángulo entre A y B es 83º.

    2) Además como el enunciado nos da el valor de otros dos ángulos: 93º y 90º, y la suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360º, el ángulo restante, que es el que forman D y C mide 94º.

    3) Es fácil deducir que el ángulo formado por el lado D y la línea auxiliar I mide 83º, y que el ángulo formado por el lado C y la línea auxiliar G mide 3º.

    Podemos entonces escribir las siguientes relaciones trigonométricas:

    2) E = B*cos.83º = 0,121869*B

    3) F = B*sen.83º = 0,992546*B

    Calcular G es un poco mas largo:

    tg.83º= J / I = (A + H - E) / I

    I = (A + H - E) / tg.83º

    I = (A + G*tg.3º - B*cos.83º) / tg.83º

    G = F - I = B*sen.83º - (A + G*tg.3º - B*cos.83º)/tg.83º

    G*tg.83 = (B*sen.83º * tg.83º) - (A + G*tg.3º - B*cos.83º)

    G*(tg.83º+tg.3º) = (B*sen.83º * tg.83º) - (A - B*cos.83º)

    G = (B*((sen.83º * tg.83º) + cos.83º) - A) / (tg.83º+tg.3º)

    G = (B*((0,992546*8,14435)+0,121869) - 16) / (8,14435+0,0524078)

    G = (B*8,205511 - 16) / (8,1967578)

    4) G = 1,00107*B - 1,95199

    Por último calculamos H:

    H = G*tg.3º = 0,0524078*G

    H = 0,0524078*G = 0,0524078*(1,00107*B - 1,95199)

    5) H = 0,0524639*B - 0,102300

    Reemplazando en la fórmula 1) los valores obtenidos en 2), 3), 4) y 5) queda:

    16*0,992546*B + 0,992546*B*(0,0524639*B - 0,102300) + 16*(1,00107*B - 1,95199) - (0,121869*B)*( 1,00107*B - 1,95199) = 600

    15,8807*B + 0,0520728*B^2 - 0,101537*B + 16,0171*B - 31,2318 - 0,121999*B^2 + 0,237887*B = 600

    6) - 0,0699262*B^2 + 32,03415*B - 631,2318 = 0

    Resolviendo esta ecuación cuadrática obtenemos dos raíces: B1 = 20,63 y B2 = 437,48

    Obviamente B2 = 437,48 no puede ser la solución y en todo caso sería interesante interpretar que significado tiene, pero ese es otro tema.

    Por lo tanto para que la superficie tenga 300 m2 el lado B debe medir 20,63 m.

    Verificación:

    A = 16 m.

    B = 20,63 m.

    E = 0,121869*B = 2,51 m.

    F = 0,992546*B = 20,48 m.

    G = 1,00107*B - 1,95199 = 18,70 m.

    H = 0,0524639*B - 0,102300 = 0,98 m.

    S = (E*F)/2 + (F+G)*(A+H-E)/2 - (G*H)/2

    S = (2,51m*20,48m)/2 + (20,48m+18,70m)*(16m+0,98m-2,51m)/2 - (18,70m*0,98m)/2

    S = 25,70 m2 + 283,47 - 9,16 = 300,01 m2

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