¿Cómo se calcula este límite?

El problema es el siguiente:

lim (cos² x + 3cos x -4)/(cos² x - 1)

x->0

Espero que me puedan ayudar a resolverlo, en lo posible pongan el procedimiento asi aprendo como se hace.

Saludos!

Actualización:

Gracias por sus respuesta... entiendo lo de h'lopital algo de eso sabia pero desgraciadamente me prohiben usarlo, creo que debe haber alguna relacion trigonometrica que me deje resolver el ejercicio.

Actualización 2:

Muchas gracias ivan!! la primer solucion que me brindaste es la que estaba buscando. No sabia que podia factorizar de esa forma el cos² X.

Gracias a todos!!

5 respuestas

Calificación
  • Anónimo
    hace 1 década
    Respuesta preferida

    Si lo sustituyes da 0/0. Como tienes una indeterminación 0/0 puedes derivar en el numerador y en el denominador por separado (regla de l'hopital):

    lim (cos² x + 3cos x - 4) / (cos² x - 1) =

    = lim (-2cosx · sen x - 3 sen x ) / (- 2 cos x · sen x) =

    Ahora tenemos la indeterminación 0/0 otra vez por lo que aplicamos l'hopital otra vez.

    = lim (+2sen²x - 2 cos²x - 3 cos x) / (-2cos²x + 2 sen²x ) =

    Esto como ves no da ninguna indeterminación. Ya podemos sustituir la x por 0:

    = (+2sen²0 - 2 cos²0 - 3 cos 0) / (-2cos²0 + 2 sen² 0) =

    = ( -2 - 3) / -2 = 5/2

    saludos

    ______________________________________

    Haber dicho antes que no se puede usar l'hopital, :)

    Pues también puede hacerse así (entiendo que los límites tienden a 0):

    lim (cos² x + 3cos x - 4) / (cos² x - 1) =

    = lim (cos²x - 1 + 3cosx - 3) / (cos²x - 1) =

    = lim [ (cos²x - 1) + 3(cosx - 1) ] / (cos²x - 1) =

    = lim [ 1 + 3(cosx - 1) / [ (cos x - 1) ( cos x + 1) ] =

    = 1 + lim [ 3 / (cos x + 1) ] =

    = 1 + 3/2 = 5/2

    Saludos

    Fuente(s): estudio física
  • hace 1 década

    lim (cos² x + 3cos x -4)/(cos² x - 1)

    x->0

    Al aplicar el limite para x=0 sale (0/0) forma indeterminada

    Levantemos la indeterminacion:

    Primera forma

    factorizamos el numerador y denominador

    (cos² x + 3cos x -4) = (cosx +4)(cos x -1)

    (cos² x - 1) = (cos x + 1)(cos x - 1)

    El limite se convierte en:

    lim (cosx +4)(cos x -1) / (cos x + 1)(cos x - 1)

    x->0

    simplificando (cos x - 1), justamente el factor que produce la indeterminacion queda:

    lim (cosx +4) / (cos x + 1)

    x->0

    Evaluando nuevamente:

    (cos 0 +4) / (cos 0 + 1) = (1+4) / (1+1) = 5/2

    luego

    lim (cos² x + 3cos x -4)/(cos² x - 1) = 5/2

    x->0

    Segunda forma

    Si se conoce derivacion; por el teorema de L`hospital dado que es 0/0

    lim (cos² x + 3cos x -4)/(cos² x - 1) =

    x->0

    derivando numerador y denominador independientemente

    lim ( (2cos x)(- sen x) + 3(-sen x) ) / (2cos x)(- sen x)

    x->0

    factorizando (-senx) y simplificando

    lim ( 2cos x + 3) / (2cos x)

    x->0

    evaluando nuevamente

    ( 2cos 0 + 3) / (2cos 0) = (2+3)/2 = 5/2

  • hace 1 década

    Para este caso.

    Obtén la segunda derivada del numerador y aparte también la del denominador.

    Luego aplica el límite sustituyendo x por cero y te dará el resultado:

    -5/-2 que equivale a 5/2.

    Es la regla de L'Hospital

    Saludos.

  • hace 1 década

    el limite es del tipo 0/0.Si aplicas hospital(no se como se escribe)

    (o sea derivas lo de arriba y lo de abajo) dos veces te queda algo asi con la primera derivada te queda=

    (-2cos x * sen x -3sen x ) / ( -2cos x * sen x)

    hasta aca te sigue quedando 0/0 pero con la segunda se resuelve =

    (2sen x * sen x -2cos x * cos x - 3 cos x ) / ( 2sen x * sen x - 2 cos x*cos x )

    ahora reemplazando te queda=

    como sen 0 = 0

    (-2 cos 0 * cos 0 - 3 cos 0) / ( -2 cos 0 * cos 0)=5/2

    suerte espero que lo entiendas

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  • Anónimo
    hace 1 década

    hola solo se trata de sustituir las "x" por el valor que esta abajo (0) y realizar las operaciones con calculadora y listo esta facil seria de la sig manera:

    (cos² (0) + 3cos (0) -4)/(cos² (0) - 1)

    jaja y ya solo resuelvela solo pk no tengo calculadora sino tmb te ayudaba pro bno si tienes alguna duda dime zaz?

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