¿Resolver la Ecuacion Diferencial Homogenea?

Question

Resolver: x*(dy/dx)=Raiz cuadrada de (x^2+y^2)
x*y'=(x^2+y^2)^(1/2)


Es lo mismo pero para que entiendan, Ayuda por favor no tengo ni idea de como hacerlo. Solo se que es Homogenea. Doy 10 Puntos!!

Answer 1

Mejor respuesta - elegida por quién preguntó

x(dy/dx)=√(x^2+y^2); Despejamos dy/dx

dy/dx = √(x^2+y^2)/x; La idea es dejar en terminos de (x/y) o (y/x), para luego hacer una sustitución, para esto dividimos en (x), tanto el numerador como el denominador, de la fracción:

dy/dx= √(1+ (y/x)^2) [1]

Si te fijas, en el numerador x, entra a la raiz como x^2, y divide a los dos términos. Ahora hacemos una sustitución z=(y/x), así pues, y=zx, derivando implicitamente con respecto a x, tenemos: dy/dx=x(dz/dx) + z, sustituyendo en [1], nos queda:

x(dz/dx) + z = √(1+ (z)^2)
(dz/dx) = [√(1+ (z)^2) -z]/x ; y esto es separable, asi pues:
∫dz/[√(1+ (z)^2) -z] = ∫dx/x [2]

Para integrar la parte izquierda, racionalizamos, nos queda:
=∫[√(1+ z^2) + z]dz
=∫√(1+ z^2)dz + ∫zdz

Para integrar √(1+ z^2), hacemos z=tan(u), dz= sec^2(u) du, asi pues √(1+ tan^2 (u))=sec(u) y u=tan^-1 (z), entonces en nuevas variables, tenemos:
=∫sec^3(u) du

usando método de reducción nos queda:
=(1/2)tan(u)sec(u) + (1/2)∫sec(u)du
=(1/2)tan(u)sec(u) + (1/2)Ln(tan(u) + sec(u))

Volviendo a variables iniciales (a 'z'):
=(1/2)z√(1+ z^2) + (1/2)Ln[√(1+ z^2) +z], Asi pues la integral de la ecuación [2] es:

(1/2)z√(1+ z^2) + (1/2)Ln[√(1+ z^2) +z] + (z^2)/2 = Ln x + C;

Volviendo a variables originales (x, y): tenemos :
(1/2)(y/x)√(1+ (y/x)^2) + (1/2)Ln[√(1+ (y/x)^2) +(y/x)z] + ((y/x)^2)/2 = Ln x + C;
Y esa es la solución.

Revisa, bien los pasos... Saludos...

Pd: espero mis 10 jeje

Puntaje de la persona que pregunta:

Comentario de la persona que pregunta:

Necesito otra ayuda mas, una como le hago para darte tus 10? y otra revisa mis preguntas, tengo otra ecuacion asi mas sencilla que no se hacer por fa ayudame si puedes. Mi correo es [e-mail]